Épluchez les oignons et coupez-les en rondelles fines. Épluchez les carottes et coupez-les en bâtonnets réguliers. Écrasez légèrement les gousses d'ail non pelées.

Dans une cocotte ou une grande poêle, faites chauffer l'huile d'olive à feu moyen-vif. Disposez les gésiers préparés et faites-les revenir pendant 5 à 7 minutes, en les retournant régulièrement, jusqu'à ce qu'ils deviennent dorés de tous les côtés.

Retirez les gésiers de la cocotte et réservez-les dans une assiette. Dans le même récipient, faites fondre le beurre avec les oignons et l'ail écrasé pendant 3 à 4 minutes jusqu'à ce que les oignons deviennent translucides et parfumés.

Saupoudrez la farine sur les oignons et mélangez bien pour former un roux léger. Cuisez ce roux pendant 2 minutes en remuant constamment pour éliminer le goût cru de la farine.

Versez progressivement le vin blanc sec dans la cocotte en remuant continuellement pour éviter les grumeaux. Laissez réduire le vin pendant 3 minutes environ.

Ajoutez le bouillon de poule chaud et les tomates pelées. Incorporez les carottes coupées, les brins de thym et la feuille de laurier. Salez et poivrez selon votre goût.

Remettez les gésiers dans la cocotte, immergez-les au maximum dans le liquide. Couvrez la cocotte et laissez mijoter à feu doux pendant 1 heure à 1 heure 30, jusqu'à ce que les gésiers soient bien tendres.

À mi-cuisson, vérifiez le niveau du liquide et remuez doucement. Si vous avez ajouté la moutarde, incorporez-la maintenant pour plus de saveur.

En fin de cuisson, les gésiers doivent être très tendres et la sauce bien réduite et concentrée. Rectifiez l'assaisonnement en sel et poivre selon votre palais.

Servez chaud dans des assiettes creuses, en versant généreusement la sauce riche et savoureuse. Garnissez avec du thym ou du persil frais si désiré.